Теорема доказанная григорием перельманом. Можно ли объяснить гипотезу Пуанкаре «на пальцах»

На диск, эллипс можно натянуть изогнутую линию. Понятно,
что на шар, дыню можно натянуть круглую"лепешку" и
затянуть ее шнуром, как, например, рюкзак.

Логично предположить, что на N - мерный эллипсоид, в том
числе N-мерную сферу, и на подобные поверхности, может быть
натянута N-1 мерная сфера и затянута гипершнуром. Эллиптическая
сфера не может быть равномерно натянута на сферу или "дыню"
высшего порядка размерности. Попытки натянуть сферу на другую
фигуру высшей размерности, например, бублик, скорее всего,
будут неудачными.

Интересно рассмотреть полное покрытие поверхности N- ного порядка
поверхностью N-1 порядка, оставляющее "шов" меньшей размерности.

Топология помогает понимать суть высших размерностей при помощи
непрерывных деформаций поверхностей меньшей размерности.
То есть, описание нашего искривленного пространства дает ключ к
пониманию пространства высших размерностей.

Математик Г.Перельман доказал, что трехмерная сфера - это единственная
трехмерная форма, поверхность которой может быть стянута в одну точку
неким гипотетическим «гипершнуром».

Http://kp.ru/daily/24466.4/626061/#EDRT

Форма у нашей Вселенной. И позволяет в е с ь м а о б о с н о в а н н о
предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная -
единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно
и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого
взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.
Получается, что Перельман вместе с Пуанкаре огорчили так называемых
креационистов - сторонников божественного начала мироздания. И пролили
воду на мельницу физиков-материалистов".

Конечно же, Вселенная гораздо сложнее, чем сфера любой, какой угодно,
размерности! И понятие развития Вселенной из точки, так называемая
теория Большого взрыва, льет гораздо больше воды на другие мельницы -
теорий Божественного происхождения нашей Вселенной!

Рецензии

Любые теории происхождения самой вселенной - не состоятельны!
Допустимо рассуждать о происхождении знаний о вселенной.
Зрительное восприятие вселенной ограничено чисто физическими возможностями,
оптического канала наблюдения просторов вселенной,
наблюдателя, расположившегося на Земле или на орбите.
Второе ограничение возможностей наблюдения вселенной, физическое закономерное рассеяние мощности источника излучения в пространстве вселенной.
Третье ограничение накладывается самим пространством, преобразующим,
в своей среде, электромагнитные колебания, которыми является видимый свет, с длиной электромагнитной волны, в оптическом диапазоне:
от 400 нанометров, ... , - до 700 нанометров,- в электромагнитные колебания радиочастотного - невидимого для глаза спектра (инфракрасного, субмиллиметрового, миллиметрового, сантиметрового, дециметрового, метрового и далее, до квазистатического магнитного эффекта и квазистатического электричества, соответствующего
бесконечно длинным волнам), -
приводящее к пониманию неограниченности вселенной.
А! Путаницы, внесённые квази-учёными, смешавшими понятия галактики и вселенной, да, и, понятия свойственные церкви, считающей вселенную количеством прихожан в сельскую церковь, следует считать возложенными на совесть носителей этих понятий. В том числе, на совесть проповедников теории большого взрыва.
Альберт Эйнштейн, основатель теории относительности, потому так и назвал свою теорию, "Теорией Относительности", потому, что его теория - не теория "Абсолютности", а теория относительности, от математического понятия "отношение", используемое при измерениях, и применяемое в отношении "меры". А! Это, совершенно не применимо к неизмеримым величинам. К которым следует отнести человеческое понятие вселенной.
Альберт Эйнштейн сразу стал сопротивляться настойчивости "лже-друзей", пытающихся, натянуть понятие относительности на понятие абсолютности вселенной. Лже-друзья Альберта Эйнштейна, своей силовой сплочённостью сломили волю учёного, но это привело к уничтожению его серьёзных научных трудов.
Понятие вселенной выходит за пределы точных наук, и поэтому является "пробным камнем" или "камнем преткновения"
- "key stone of the pacific"- для философов.

2010, август, 06, пятница, 18:28:00 - время по Омскому меридиану.
Виктор Дмитриевич Перепёлкин

Здравствуйте! Уважаемый Всеволод Новопашин!
Здесь из Омска Виктор Перепёлкин.
Разлетания галактик не существует!!!
Потому, что разлетание - выдумка, базирующаяся
на желании получить "нобелевку", за обнаружение
взрыва вселенной, - путём указания на красное
"смещение",- которому приписывается результат
Допплеровского "сдвига" частот, в спектрах
галактик, которые удалены от Земли, на столько,
что мощность излучений очень ослаблена в
пространстве, причём, до такого предела,
что быстрые, то есть энергичные колебания, не
возможны, а до наблюдателя, доходят медленные,
то есть ослабленные колебания.
Член корреспондент Академии Наук СССР, до этого
получивший 7 - классное образование, и работавший
на дальневосточной дороге строителем
и
минуя 3 класса, не постигнув наук в 8, 9, и 10 -
классах средней общеобразовательной школы, путём
поступления в Дальневосточный университет,
а
затем Московский университет,
сразу в Астрономический институт, хотя у него
были серьёзные недостатки со зрением,
из за чего его не взяли в армию и даже на фронт,
занимаясь радиоастрономией, написал и опубликовал,
свою книгу под названием: "Жизнь Земля Вселенная",
в которой пропагандировал идеи большого взрыва,
из за которого, якобы появилась вселенная
и
реликтовое излучение на радиочастотах,
и про красное смещение спектров,
как Допплеровский эффект, который наблюдается,
в основном на железной дороге,
при близко проезжающем гудящем паровозе,
а
на больших расстояниях Допплеровский эффект
не существенен.
Поэтому нельзя рассматривать красное "смещение",
как эффект разбегания вселенной.
Вселенная НЕ РАЗБЕГАЕТСЯ!
Вселенная существовала всегда
и
вселенная будет существовать всегда.
Пространство вселенной не ограничено.
Галактики не разлетаются!
Изменение фокусировки телескопа, создаёт эффект
разлетания изображения, но не галактик.
Обман зрения. Результат восприятия человеком
перемещающихся меток на экране видео монитора.

Другой вопрос: "Об ограниченности восприятия
человеком пространства вселенной".

Ограничение восприятия - существует!

Ни какие технические средства,
- не позволяют увидеть того,
что располагается за пределами возможностей
оптического канала восприятия.
Расширение пределов восприятия вселенной,
становится возможным, если согласиться
с
существующим, не только наличием фильтрующего
эффекта космического пространства, как упомянул
Близнецов,
но
и
существующим в космическом пространстве эффекта
преобразования энергичных колебаний, в более
длинно волновые колебания, соответствующие
ослабленной энергии радиочастотных колебаний,
не видимых в оптическом
диапазоне электромагнитных колебаний,
доступных для восприятия простым глазом.
С уважением! Виктор Перепёлкин
2010, сентябрь, 28, вторник, 22:56:00,-
время по Омскому меридиану

Статья Григория Перельмана, в которой приводилось доказательство гипотезы Пуанкаре.

«Это был беспрецедентный случай. Медали Филдса, столь же престижной в математике, как и Нобелевская премия в других областях науки, удостоено эпохальное достижение - работа, в которой приводится доказательство гипотезы Пуанкаре», - этими словами начинается фильм «Чары гипотезы Пуанкаре», посвященный гипотезе и человеку, ее доказавшему.

Гипотеза была сформулирована французским математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1904 году. Она является одной из задач, с которыми работает топология, - раздел математики, в развитии которого основопологающую роль сыграл Пуанкаре. Топология в широком смысле рассматривает явление непрерывности и его свойства. В топологии любые объекты изучаются с точностью до непрерывных деформаций без разрывов. Если рассматривать трехмерное пространство, то любой объект без отверстий (например, лист) топологически эквивалентен сфере, любой объект с одним отверстием (например, кружка) - тору, следующие - тору с двумя отверстиями и так далее. Также важным понятием является ориентируемость. В простейшем случае поверхности это свойство означает невозможность попадания с одной ее стороны на другую при гладком движении вдоль нее. В частности, если свернуть лист бумаги в трубочку, то получает ориентируемая поверхность, а лист Мебиуса является неориентируемой. Аналогично в в случае замкнутых поверхностей: сфера - ориентируема, бутылка Клейна - нет.

Гипотеза звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Односвязное, то есть такое, любую замкнутую линию в котором можно стянуть в одну точку (условно - сфера, а не тор, так как на торе это помешает сделать «дырка»). Компактность в топологии является обобщением свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах. В простейшем одномерном случае компактным является, например, отрезок, так как при любом растяжении он останется ограничен некоторыми точками. А вот открытый интервал на прямой можно растянуть до бесконечной прямой, то есть он некомпактен. Трехмерное многообразие без края - это такой геометрический объект, в котором каждая точка имеет открытую окрестность в виде трехмерного шара. Примером его может служить «внутренность» тора, полноторие. Однако если добавить к нему поверхность, сам тор, то у граничных точек не будет окружения со всех сторон, а значит такой объект будет многообразием с краем. Гомеоморфизм устанавливает соответствие между объектами одного класса (условно «сфера» или «тор»). Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара. Представить его людям, живущим в трехмерном пространстве, конечно, нелегко.

Иллюстрация гипотезы Пуанкаре для двумерной поверхности («обруч» на сфере)

Salix alba/Wikimedia Commons

Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.

Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства - самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, - быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно.

Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути - потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.

Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение - доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался.

Фото Н. Четвериковой Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002—2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ».

В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).

Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто определяют как «резиновую геометрию», т. е. как науку о свойствах геометрических образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее, при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие.

Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую можно превратить во второй непрерывной деформацией: Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.

1. Трехмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трехмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R 3 , а также любые открытые множества точек в R 3 , к примеру внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полно-торие, т. е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем -у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

2. Связное. Понятие связности здесь самое простое. Многообразие связно, если оно состоит из одного куска, или, что-то же самое, любые две его точки можно соединить непрерывной линией, не выходящей за его пределы.

3. Односвязное. Понятие односвязности сложнее. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R 3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

4. Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомео-морфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определенные точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Размерность многообразия -это число степеней свободы у точки, которая на нем «живет». У каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, т. е. интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в трехмерном и т. д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.

Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара пересекающихся линий — ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.

Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать только ориентируемые 1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения составляют простой, хотя и бесконечный, список: и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких ручек, число которых называется родом поверхности.

1 За неимением места, я не буду говорить о неориентируемых многообразиях, примером которых может служить известная бутылка Клейна — поверхность, которую нельзя вложить в пространство без самопересечений.

На рисунке изображены поверхности рода 0, 1, 2 и 3. Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.

Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором смысле классифицировать, т. е. выстроить в некоторый список, хотя не такой прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру. Тем не менее, трехмерная сфера S 3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S 3 стягивается в точку, доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а именно, что это свойство уникально именно для сферы, т. е. что на любом другом трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляет содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.

Важно понимать, что многообразие может жить само по себе, о нем можно мыслить как о независимом объекте, никуда не вложенном. (Представьте себе жизнь двумерных существ на поверхности обычной сферы, не подозревающих о существовании третьего измерения.) К счастью, все двумерные поверхности из приведенного выше списка можно вложить в обычное пространство R 3 , что облегчает их визуализацию. Для трехмерной сферы S 3 (и вообще для любого компактного трехмерного многообразия без края) это уже не так, поэтому необходимы некоторые усилия для того, чтобы понять ее строение.

По-видимому, простейший способ объяснить топологическое устройство трехмерной сферы S 3 — это при помощи одноточечной компактифика-ции. А именно, трехмерная сфера S 3 представляет собой одноточечную компактификацию обычного трехмерного (неограниченного) пространства R 3 .

Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну «бесконечно удаленную» точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку. Мы получим, очевидно, окружность — одномерный аналог сферы.

Подобным же образом, если я возьму бесконечную плоскость и добавлю одну точку на бесконечности, к которой стремятся все прямые исходной плоскости, проходимые в любом направлении, то мы получим двумерную (обычную) сферу S 2 . Эту процедуру можно наблюдать при помощи стереографической проекции, которая каждой точке P сферы, за исключением северного полюса N, ставит в соответствие некоторую точку плоскости P":

Таким образом, сфера без одной точки — это топологически все равно, что плоскость, а добавление точки превращает плоскость в сферу.

В принципе, точно такая же конструкция применима и к трехмерной сфере и трехмерному пространству, только для ее осуществления необходим выход в четвертое измерение, и на чертеже это не так просто изобразить. Поэтому я ограничусь словесным описанием одноточечной компактификации пространства R 3 .

Представьте себе, что к нашему физическому пространству (которое мы, вслед за Ньютоном, считаем неограниченным евклидовым пространством с тремя координатами x, y, z) добавлена одна точка «на бесконечности» таким образом, что при движении по прямой в любом направлении вы в нее попадаете (т.е. каждая пространственная прямая замыкается в окружность). Тогда мы получим компактное трехмерное многообразие, которое и есть по определению сфера S 3 .

Легко понять, что сфера S 3 односвязна. В самом деле, любую замкнутую кривую на этой сфере можно немного сдвинуть, чтобы она не проходила через добавленную точку. Тогда мы получим кривую в обычном пространстве R 3 , которая легко стягивается в точку посредством гомотетий, т. е. непрерывного сжатия по всем трем направлениям.

Для понимания, как устроено многообразие S 3 , весьма поучительно рассмотреть его разбиение на два полнотория. Если из пространства R 3 выбросить полноторие, то останется нечто не очень понятное. А если пространство компактифицировать в сферу, то это дополнение превращается тоже в полноторие. То есть сфера S 3 разбивается на два полнотория, имеющих общую границу — тор.

Вот как это можно понять. Вложим тор в R 3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую — ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S 3 прямая замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело, гомео-морфное полноторию, только выглядящее необычно.

В самом деле, центральная ось будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей — окружностей, составляющих обычное полноторие.

Чтобы было с чем сравнивать 3-сферу, я приведу еще один пример компактного 3-многообразия, а именно трехмерный тор. Трехмерный тор можно построить следующим образом. Возьмем в качестве исходного материала обычный трехмерный куб:

В нем имеется три пары граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя. В каждой паре параллельных граней отождествим попарно точки, получающиеся друг из друга переносом вдоль ребра куба. То есть будем считать (чисто абстрактно, без применения физических деформаций), что, например, A и A" - это одна и та же точка, а B и B" - тоже одна точка, но отличная от точки A. Все внутренние точки куба будем рассматривать как обычно. Сам по себе куб-это многообразие с краем, но после проделанных склеек край замыкается сам на себя и исчезает. В самом деле, окрестностями точек A и A" в кубе (они лежат на левой и правой заштрихованных гранях) служат половинки шаров, которые после склейки граней сливаются в целый шарик, служащий окрестностью соответствующей точки трехмерного тора.

Чтобы ощутить устройство 3-тора исходя из обыденных представлений о физическом пространстве, нужно выбрать три взаимно перпендикулярных направления: вперед, влево и вверх — и мысленно считать, как в фантастических рассказах, что при движении в любом из этих направлений достаточно долгое, но конечное время, мы вернемся в исходную точку, но с противоположного направления Это тоже «компактификация пространства», но не одноточечная, использованная раньше для построения сферы, а более сложная.

На трехмерном торе есть нестягиваемые пути; например, таковым является отрезок AA" на рисунке (на торе он изображает замкнутый путь). Его нельзя стянуть, потому что при любой непрерывной деформации точки A и A" обязаны двигаться по своим граням, оставаясь строго друг напротив друга (иначе кривая разомкнется).

Итак, мы видим, что бывают односвязные и неодносвязные компактные 3-многообразия. Перельман доказал, что односвязное многообразие ровно одно.

Исходной идеей доказательства является использование так называемого «потока Риччи»: мы берем односвязное компактное 3-многообразие, наделяем его произвольной геометрией (т.е. вводим некоторую метрику с расстояниями и углами), а затем рассматриваем его эволюцию вдоль потока Риччи. Ричард Гамильтон, который высказал эту идею в 1981 году, надеялся, что при такой эволюции наше многообразие превратится в сферу. Оказалось, что это неверно, — в трехмерном случае поток Риччи способен портить многообразие, т. е. делать из него немногообразие (нечто с особыми точками, как в приведенном выше примере пересекающихся прямых). Перельману путем преодоления неимоверных технических трудностей, с использованием тяжелого аппарата уравнений с частными производными, удалось внести поправки в поток Риччи вблизи особых точек таким образом, что при эволюции топология многообразия не меняется, особых точек не возникает, а в конце концов оно превращается в круглую сферу. Но нужно объяснить наконец, что же такое этот поток Риччи. Потоки, использованные Гамильтоном и Перельманом, относятся к изменению внутренней метрики на абстрактном многообразии, и это объяснить довольно трудно, поэтому я ограничусь описанием «внешнего» потока Риччи на одномерных многообразиях, вложенных в плоскость.

Представим себе гладкую замкнутую кривую на евклидовой плоскости, выберем на ней направление и рассмотрим в каждой точке касательный вектор единичной длины. Тогда при обходе кривой в выбранном направлении этот вектор будет поворачиваться с какой-то угловой скоростью, которая называется кривизной. В тех местах, где кривая изогнута круче, кривизна (по абсолютной величине) будет больше, а там, где она более плавная, кривизна будет меньше.

Кривизну будем считать положительной, если вектор скорости поворачивает в сторону внутренней части плоскости, разбитой нашей кривой на две части, и отрицательной, если он поворачивает вовне. Это соглашение на зависит от направления обхода кривой. В точках перегиба, где вращение меняет направление, кривизна будет равна 0. Например, окружность радиуса 1 имеет постоянную положительную кривизну, равную 1 (если считать ее в радианах).

Теперь забудем про касательные векторы и к каждой точке кривой прикрепим, наоборот, перпендикулярный ей вектор, по длине равный кривизне в данной точке и направленный вовнутрь, если кривизна положительна, и вовне, если отрицательна, а затем заставим каждую точку двигаться в направлении соответствующего вектора со скоростью, пропорциональной его длине. Вот пример:

Оказывается, что любая замкнутая кривая на плоскости ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т. е. превращается в конце концов в окружность. Это и есть доказательство одномерного аналога гипотезы Пуанкаре при помощи потока Риччи (впрочем, само утверждение в данном случае и так очевидно, просто способ доказательства иллюстрирует, что происходит в размерности 3).

Заметим в заключение, что рассуждение Перельмана доказывает не только гипотезу Пуанкаре, но и гораздо более общую гипотезу геометризации Тёрстона, которая в известном смысле описывает устройство всех вообще компактных трехмерных многообразий. Но этот предмет лежит уже за рамками настоящей элементарной статьи.

Сергей Дужин,
докт.физ.-мат. наук,
старший научный сотрудник
Санкт-Петербургского отделения
Математического института РАН

Анри Пуанкаре - один из самых известных французских ученых всех времен. За свою жизнь он успел достичь многого. Кроме того, что он совершил множество открытий в самых различных областях знаний, он также в течение многих лет преподавал в Сорбонне и являлся членом Французской академии наук, а с 1906 и до самой смерти в 1912 был ее президентом.

В современном мире самым известным его достижением считается теорема Пуанкаре, которая была доказана Григорием Перельманом.

Попытки доказательства

Множество ученых долгие годы занималось изучением теоремы, но успеха добились только несколько человек. Один из главных прорывов совершил американский ученый Тёрстон. Суть его работы состоит в том, что он смог зрительно проиллюстрировать многообразие элементов трехмерной плоскости. Работа Тёрстона получила название гипотезы геометризации, а за нее он был удостоен Филдсовской премии.

Несколько китайских ученых также были заинтересованы в том, чтобы теорема Пуанкаре была доказана. Среди них особо выделяется Шин Тун Яу, который даже делал заявления о том, что ему и его ученикам удалось это сделать.

Работа Перельмана

Григорий Перельман доказал теорему Пуанкаре после многих лет упорной работы над ней. Он начал свои исследования, находясь в Америке, где в течение долгого времени читал лекции в разных университетах. После своего знакомства с американским ученым Гамильтоном, который помог ему прояснить некоторые моменты он задумался о доказательстве теоремы. Через какое-то время он решил вернуться в родной Санкт-Петербург, где усердно принялся за работу.

В 2002 году Перельман опубликовал первую часть своей работы и отправил ее копию Шин Тун Яу, чтобы тот смог дать ей объективную оценку. Уже тогда ученому миру стало известно, что теорема Пуанкаре доказана. В течение нескольких месяцев Перельман опубликовал еще две части статьи, в которых была представлена его работа в очень сжатом виде.

В ученом мире принято так, что перед тем, как делается официальное заявление об открытии, его должны подтвердить несколько разных ученых, а только потом работа может быть официально опубликована. Прежде чем доказательство было опубликовано, теорема Пуанкаре-Перельмана была много раз подвергнута проверкам, а эта работа еще усложнялась тем фактом, что в ней использовалось значительное количество сокращений и было мало объяснений как для такого серьезного труда.

Тем не менее спустя некоторое время было признано, что Перельману удалось решить задачу, над которой бились многие поколения ученых.

Филдсовская премия

Эта премия вручается только раз в четыре года не более чем четырем ученым, которые внесли серьезный вклад в изучение математики. Ее удостоился и Перельман в 2006 году за доказательство но, как ни странно, он отказался от такой почетной награды и не присутствовал на вручении. По словам самого ученого, для него не важны почетные звания, ему принес удовольствие уже тот факт, что гипотеза доказана.

Теорема Пуанкаре являлась загадкой для множества ученых, но именно эксцентричный российский математик смог добиться ее решения и найти ответы на вопросы, которые продолжительное время волновали весь ученый мир.

Гипотеза Пуанкаре выдвинута еще в начале XX в. французским математиком Анри Пуанкаре. Чтобы сформулировать ее, дадим

Определение. Топологическое пространство X называется односвязным, если оно линейно связно и всякое непрерывное отображение
X окружности в пространство X можно продолжить до непрерывного отображения
всего круга
. Не трудно видеть, что сфера односвязна при n 2.

Гипотеза Пуанкаре. Всякое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

Аналоги гипотезы Пуанкаре, касающиеся многообразий размерности 4 и больше, доказаны. Более того, получена топологическая классификация вообще всех замкнутых односвязных четырехмерных многообразий.

Это интересно: Почти 100 лет назад Пуанкаре установил, что двумерная сфера односвязна, и предположил, что трехмерная сфера тоже односвязна.

Другими словами, гипотеза Пуанкаре утверждает, что всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Для пояснения используют такую картинку: если обмотать яблоко резиновой лентой, то в принципе, стягивая ленту, можно сжать яблоко в точку. Если же обмотать такой же лентой пончик (пирожок с дыркой в середине), то в точку его сжать нельзя без разрыва или пончика, или резины. В таком контексте яблоко называют «односвязной» фигурой, пончик же не односвязен.

Жюль Анри Пуанкаре открыл специальную теорию относительности одновременно с Эйнштейном (1905 г.) и признан одним из величайших математиков за всю историю человечества.

Гипотеза Пуанкаре оставалась недоказанной на протяжении всего двадцатого столетия. В математическом мире она приобрела статус, аналогичный статусу Великой теоремы Ферма.

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клея присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения». Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей – гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston"s Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Российский математик Григорий Перельман, сотрудник лаборатории геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова, утверждает, что доказал гипотезу Пуанкаре, то есть решил одну из самых знаменитых нерешенных математических задач. Необычным был способ, который Перельман избрал для обнародования своего доказательства. Вместо того чтобы опубликовать его в солидном научном журнале, что, кстати, было обязательным условием для присуждения приза в миллион долларов, Перельман разместил свою работу на одном из архивов Интернета. Хотя доказательство заняло всего 61 страницу, оно произвело сенсацию в научном мире.

Научный мир рукоплескал гению, обещая золотые горы и почетные титулы. Американский Институт математики Клея был готов присудить ему награду в $1 миллион. Никто не сомневался, что Всемирный конгресс математиков, назовет Перельмана победителем. Кстати, как известно, математики не входят в число учёных, награждаемых Нобелевской премией. Злые языки утверждают, что этот факт не случаен. Ведь, по слухам, именно математик попал в немилость знаменитому шведу Альфреду Нобелю, отбив у него любимую девушку в юности. Между тем российский гений отказался от миллиона, так и не опубликовав свое открытие в специализированных изданиях, уволился из Математического института им. Стеклова РАН, ушел в затворничество и, на церемонии вручения награды, которую вручал король Испании Хуан Карлос I, не появился. Он никак не отреагировал на сообщение о награде и приглашение ее получить, а как говорят знакомые: гений "ушел в леса" по грибы под Санкт-Петербургом.

Ученые считают, что 38-летний российский математик Григорий Перельман предложил верное решение проблемы Пуанкаре. Об этом на научном фестивале в Эксетере (Великобритания) заявил профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин.

Проблема (ее также называют задачей или гипотезой) Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических проблем, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов. Именно это и привлекло столь широкое внимание к результатам, полученным Григорием Перельманом, сотрудником лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института имени Стеклова .

Ученые всего мира узнали о достижениях Перельмана из двух препринтов (статей, предваряющих полноценную научную публикацию), размещенных автором в ноябре 2002-го и марте 2003 года на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории .

Согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института Клэя, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем "международную репутацию". Кроме того, по правилам Института, решение о выплате приза принимает, в конечном счёте, "математическое сообщество": доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира.

Проблема Пуанкаре

Проблема Пуанкаре относится к области так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить себе, например, на примере поверхности трехмерных тел − сферы (поверхности шара) или тора (поверхности бублика).

Легко вообразить, что произойдет с воздушным шариком, если его деформировать (изгибать, скручивать, тянуть, сжимать, пережимать, сдувать или надувать). Ясно, что при всех вышеперечисленных деформациях шарик будет изменять свою форму в широких пределах. Однако мы никогда не сможем превратить шарик в бублик (или наоборот) без нарушения непрерывности его поверхности, то есть не разрывая. В этом случае топологи говорят, что сфера (шарик) негомеоморфна тору (бублику). Это означает, что данные поверхности невозможно отобразить одну на другую. Говоря простым языком, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам. А поверхность воздушного шарика при всевозможных его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность спасательного круга - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.

Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.

Сразу уточним: упомянутая нами формулировка проблемы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара, который представить себе уже гораздо труднее. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.

Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.

Необходимо отметить, что у Перельмана есть соперник. В апреле 2002 года профессор математики британского университета Саутгемптон Мартин Данвуди предложил свой метод решения проблемы Пуанкаре и теперь ожидает вердикт от института Клэя.

Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. Петербургский математик вполне может претендовать на премию Филдса (аналог Нобелевской премии, которую по математике не присуждают).

Между тем, некоторые находят поведение Григория Перельмана странным. Вот что пишет британская газета "Гардиан": "Скорее всего, подход Перельмана к разгадке проблемы Пуанкаре верный. Но не все так просто. Перельман не предоставляет доказательств того, что работа издана в качестве полноценной научной публикации (препринты таковой не считаются). А это необходимо, если человек хочет получить награду от института Клэя. Кроме того, он вообще не проявляет интереса к деньгам".

Видимо, для Григория Перельмана, как для настоящего ученого, деньги - не главное. За решение любой из так называемых "задач тысячелетия" истинный математик продаст душу дьяволу.

Китайские математики опубликовали полное доказательство гипотезы Пуанкаре, сформулированной в 1904 году, передает новостное агентство Xinhua. Гипотеза, касающаяся классификации многомерных поверхностей (а точнее, многообразий), входила в число "проблем тысячелетия", за решение каждой из которых американский Институт Клэя назначил награду в миллион долларов.

Согласно Пуанкаре, любая замкнутая трехмерная "поверхность без дыр" (односвязное многообразие) эквивалентна трехмерной сфере, то есть поверхности четырехмерного шара. Сам Пуанкаре, автор математического аппарата эйнштейновской теории, представил первое обоснование, но позже обнаружил в собственных рассуждениях ошибку. Гипотезу в такой формулировке доказал в 2003 году российский математик Григорий Перельман, 70-страничную работу которого эксперты проверяют до сих пор. Другие случаи (размерности четыре и выше) были рассмотрены ранее.

По словам авторов, новая 300-страничная статья в Asian Journal of Mathematics не является независимой и опирается в первую очередь на результаты Перельмана. Чжу Сипин и Цао Хуайдун утверждают, что теперь ликвидировали ряд трудностей, способы преодоления которых Перельманом были только намечены. Известно, что в работе над доказательством также участвовал Шин-Тунь Яу, топологические труды которого (в частности, теория многообразий Калаби-Яу) считаются ключевыми для современной теории струн. Новая работа, отмечают специалисты, также потребует длительной перепроверки.

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990

Приложение к реферату 2: