Основные алгебраические понятия в начальной школе. Шпаргалка: Преподавание алгебраического материала в начальной школе

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика изучения алгебраического материала

Лекция 1. Математические выражения

1.1 Изучение понятия "математическое выражение"

Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует общению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основными алгебраическими понятиями курса являются "равенство", "неравенство", "выражение", уравнение". Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.

Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать магматические выражения: ознакомить с правилами порядком выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).

В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором - о сложных (сумма про, изведения и числа, разность двух частных и т.д.).

Знакомство с первым выражением - суммой двух; чисел происходит в 1 классе при изучении сложения в вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов "прибавить", "вычесть". Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц. Это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5), Затем дети узнают названия знаков действий: "плюс", "минус" и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6, 7-3 =4),

Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин "сумма" для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединенных знаком "плюс", называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от знака "равно" (9 сумма" 6+3 - тоже сумма). Наглядно изображается это так:

Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и прочитайте запись". В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком "плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например: 7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 - (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного вида - составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.

Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи, например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6 рублей". Дети должны объяснить, что в этом случае показывают следующие выражения:

Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.

По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.

В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8.

После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы, разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.

В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).

Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

установить, какое действие выполняется последним;

вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;

Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.

1.2 Изучение правил порядка действий

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1 , 4 +3 - 2; во 2 классе, например: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а - (в+с) и а - (в - с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 - (26 - 14), 50:(30 - 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:

3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

1.3 Ознакомление с преобразованием выражений

Преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Учащиеся выполняют такие образования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них.

При изучении каждого правила учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак "=" сохранился:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 56 вычитают сумму чисел 20 и 1, справа из 56 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 1. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их. Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся 2-4 классов выполняют преобразования выражений вида:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком " = ", потому что имеют одинаковые значения. Для этого иногда следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Учащиеся 2 - 3 классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе определений действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6 * 3, и наоборот: 9 * 4=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10=30+20+10, (10-6):4=10-6:4 и т.д. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Объясняя решение первого из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы, дети заменяют его выражениями: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

Таким образом, знакомство школьников начальных классов с понятием выражение тесно связано с формированием вычислительных умений и навыков. В то же время введение понятия выражения позволяет организовать соответствующую работу по развитию математической речи учащихся.

Лекция 2. Буквенная символика, равенства, неравенства, уравнения

2.1 Методика ознакомления с буквенной символикой

В соответствии с программой по математике буквенная символика вводится в 3 классе.

Здесь учащиеся знакомятся с буквой а, как символом для обозначения неизвестного числа или одного из компонентов выражения при решении выражений вида: запиши вместо "окошечка" букву а. Найти значения суммы а+6, если а=8, а=7. Затем на последующих уроках знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита, обозначающими один из компонентов в выражении. С буквой х, как символом для обозначения неизвестного числа при решении уравнений вида: а+х=в, х - с =в - знакомятся в 4 четверти в 3 классе.

Введение буквы как символа для обозначения переменной позволяет уже в начальных классах начать работу над формированием понятия переменной, раньше приобщить детей к математическому языку символов.

Подготовительная работа к раскрытию смысла буквы как символа для обозначения переменной проводится в начале учебного года в 3 классе. На этом первом этапе дети знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита (а, в, с, d, k) для обозначения переменной, т.е. одного из компонентов в выражении.

При введении буквенной символики для обозначения числовой переменной важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых написано: "1 слагаемое", "2 слагаемое", "сумма".

В процессе беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями:

Далее выясняется, можно ли еще составить выражения, сколько таких выражений можно составить. Дети составляют другие выражения и находят в них общее: одинаковое действие - сложение и различное - разные слагаемые. Учитель поясняет, что, вместо того, чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть слагаемым, какой-нибудь буквой, например а, любое число, которое может быть вторым слагаемым, например, в. Тогда сумму можно обозначить так: а+ в (соответствующие карточки выставляются в карманы плаката).

Учитель поясняет, что а+в также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами каждая из букв обозначает любые числа. Эти числа называются значениями букв.

Аналогично вводится разность чисел как обобщенная запись числовых выражений. Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например, в+с, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым.

Учащиеся убеждаются, что, придавая буквам личные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. В таком же плане проводится работа по конкретизации буквенного выражения - разность чисел.

Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной величины. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью числа, например: а±12, 8±с. Здесь, как и на первом этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно.

С этой целью на первых порах используются плакат с тремя карманами.

Заполняя карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями, учащиеся замечают, что значения первого слагаемого изменяются, а второго - не изменяются.

Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с помощью чисел, тогда сумму чисел можно записать так: т + 8, и карточки вставляются в соответствующие карманы плаката.

Аналогичным образом можно получить математические выражения вида: 17±а, в ±30, а позднее - выражения вида: 7* в, с*4, а:8, 48:в.

В 4 классе проводятся упражнения вида: Найди значения выражения а:в, если

а=3 400 и в=2;

а=2 800 и в=7.

Когда учащиеся уясняют смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний.

Конкретной базой для использования буквенной символики как инструмента обобщения служат знания об арифметических действиях и те знания, которые формируются на их основе.

К ним относятся понятия об арифметических действиях, их свойствах, о связях между компонентами и результатами действий, об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов и т.п.

Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах.

2.2 Числовые равенства, неравенства

Понятие о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрывается во взаимосвязи. Работа над ними ведется с 1 класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала.

По новой программе ставится задача научить детей выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно"; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Числовые равенства и неравенства учащиеся получают на основе сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Первоначально у младших Школьников формируются понятия только о верных Равенствах и неравенствах (5>4, 6<7, 8=8).

Впоследствии, когда учащиеся накопят опыт работы над выражениями и неравенствами с переменной, после рассмотрения понятий истинного и ложного (верного и неверного) высказывания переходят к такому определению понятий равенства и неравенства, по которым любые два числа, два выражения, соединенные одним из знаков "больше", "меньше" называется неравенством. При этом различают верные и неверные равенства и неравенства. В 3 классе предлагаются такие упражнения: проверь, верны ли данные равенства (4 четверть): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.

Но этих упражнений мало. В 4 классе предлагаются аналогичные упражнения и другие, вида: проверь, верны ли неравенства: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. математический алгебра уравнение

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно-однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел. В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Установленные отношения записываются с помощью знаков ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Сравнение именованных чисел сначала выполняется с опорой на сравнение самих значений величин, а потом осуществляется на основе сравнения отвлеченных чисел, для чего заданные именованные числа выражаются в одинаковых единицах измерения.

Сравнение именованных чисел вызывает большие трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически во 2-4 классах предлагать разнообразные упражнения:

1 дм * 1 см, 2 дм * 2 см

Замените равным числом: 7 км 500 м = _____ м

3) Подберите числа таким образом, чтобы запись была верна: ____ ч < ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Проверить верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:

4 т 8 ц=480 кг, 100 мин.=1 ч, 2 м 5 см=250 см.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и. вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа. Первые неравенства вида 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем 5.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важные свойства равенств и неравенств (если а=в, то в=а). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение чисел и выражений впервые включается при изучении чисел в пределах 20, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются детям.

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства ила неравенства, составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

2.3 Методика ознакомления с неравенствами с переменной

Неравенства с переменной вида: х+3 < 7, 10 - х >5 вводятся в 3 классе. Сначала переменная обозначается не буквой, а "окошечком", затем обозначается буквой.

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при котором получается верное неравенство. Упражнения выполняются под руководством учителя.

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5 - х =5 10 * х=10, 10* х <10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Упражнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства, решение уравнения сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Нахождение неизвестного числа в таких равенствах выполняется на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий. Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями,

2.4 Методика изучения уравнений

На подготовительном этапе к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся усваивают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравнивать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 8=5+3, 6+4=40. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах вида: 4+*=6, 5- *=2, В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых.

Понятие об уравнении вводится в 3 классе. Решаются уравнения устно, способом подбора, т.е. детям предлагают простые уравнения вида: х + 3=5. Для решения таких уравнений дети вспоминают состав чисел в пределах 10, в данном случае состав числа 5 (3 и 2), значит, х=2.

В 4 классе учитель показывает запись решения уравнения, опираясь на знания детей о связях между компонентами и результатом арифметических действий. Например, 6+х=15. Нам неизвестно второе слагаемое, Чтобы получить второе слагаемое надо из суммы вычесть первое слагаемое.

Запись решения:

Проверка:

Учащимся надо объяснить, что когда производим проверку, надо обязательно после подстановки вместо х полученного числа, найти значение полученного выражения.

Позже, на следующем этапе, уравнения решаются на основе знания правил нахождения неизвестного компонента.

На каждый случай отводится отдельный урок.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

    Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.

    реферат , добавлен 31.01.2009

    Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

    дипломная работа , добавлен 06.05.2010

    Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".

    курсовая работа , добавлен 11.01.2004

    Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.

    презентация , добавлен 29.03.2016

    Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.

    реферат , добавлен 06.08.2013

    Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

    научная работа , добавлен 05.05.2010

    Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.

    курсовая работа , добавлен 22.11.2014

    Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.

    курсовая работа , добавлен 01.02.2015

    Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.

    дипломная работа , добавлен 25.06.2010

    Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.

Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

1.2. Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:

ОООО ООО

Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

Скажите, не считая, сколько всего кругов?

Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

2 кл. 3 кл.

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

36:2 6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них (,с.249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этом не изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитаввыражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6 3, и наоборот: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника



1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на базе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины ʼʼматематическое выражениеʼʼ и ʼʼзначение математического выраженияʼʼ (без определœений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителœем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Далее формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определœенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на ʼʼверныеʼʼ и ʼʼневерныеʼʼ. Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни базе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, к примеру: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и делœение, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Далее вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях нужно сначала выполнить по порядку действия умножения и делœения, а затем сложение и вычитание, к примеру: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в крайне важно сти соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Οʜᴎ включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий исходя из изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и делœения и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины ʼʼравенствоʼʼ и ʼʼнеравенствоʼʼ не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: ʼʼКоля прибавил к шести восœемь и получил 15. Верное это решение или неверное?ʼʼ, или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: ʼʼВерны ли эти записи?ʼʼ, а после введения неравенства – ʼʼВерны ли эти неравенства?ʼʼ.

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на базе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). К примеру, на базе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с ʼʼцепочкойʼʼ равенств.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала." 2017, 2018.

2. Математическое выражение и его значение.

3. Решение задач на основе составления уравнения.

Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих опера­ции (ответы), а их свойства.

Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе начальных классов состоит математики в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.

На сегодня наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой тенденции можно считать авторов альтернативных учебников системы Л.В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции мож­но считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину.

Учебник традиционной школы можно считать представителем «серединных» взглядов - он содержит достаточно много алгеб­раического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5-6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние 20 лет практически не расширяет список алгебраических понятий.

Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.

  1. Математическое выражение и его значение

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.

Например:

3 + 2 - математическое выражение;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - математические выражения;

а + b; 7 - с; 23 - а 4 - математические выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.

Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 - не являются математическими выражениями, это неравенства.

Числовые выражения

Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.

В 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.

Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 - 5 + 7 = 32, где 32 - значение выражения.

Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 - сумма;

6 - 5 - разность;

7 6 - произведение; 63: 7 - частное.

Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы - слагаемые; компоненты разности - уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения - множители; компоненты деления - делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.

Следующий вид числовых выражений - выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются рань­ше, чем сложение и вычитание.

Последний вид числовых выражений - выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умноже­ния и деления, затем действия сложения и вычитания.

Достаточно долгое время в психологии господствовало мнение, что элементы алгебры следует изучать не в начальных классах, а в старших в силу особенностей мышления младшего школьника, неспособности его к образованию абстракций боле высокого уровня. Однако такими видными психологами, как П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин и др., и педагогами - А.И.Меркушевич, А.М.Пышкало и др. было установлено, что дети 6-10лет при определенной организации обучения могут полноценно усвоить содержание некоторых алгебраических понятий. На основании этого алгебраический материал был включен в программу по математике для начальных классов в 1969г.

Младшие школьники при изучении элементов алгебры получают первоначальные сведения о числовых выражениях, числовых равенствах и неравенствах, неравенствах с переменной, выражениях с переменной, с двумя переменными, уравнениях.

Алгебраический материал изучается с 1 кл. в тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях, и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основные этапы изучения и содержание алгебраического материала

1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Числовое выражение -

1. всякое число есть числовое выражение.

2. если а и б – числовые выражения, то их сумма а+б, разность а-б, произведение а∙б и частное а:б также являются числовыми выражениями.

Значение числового выражения - это число, полученное в результате выполнения всех действий. указанных в числовом выражении.

Программой по математике предусматривается:

Познакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях,

Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

В методике ознакомления с ЧВ можно выделить 3 этапа:

1 этап . Ознакомление с выражениями, содержащими одно действие (сумма, разность, произведение, частное двух чисел).

Знакомство с первыми выражением – суммой - происходит в 1 кл. при изучении концентра «10».

1. Выполняя операции над множествами, дети прежде всего усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1,6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (чтение: к 5 прибавить 1, получится 6, из 6 вычесть 2, получится 4).

2. В дальнейшем понятие об этих действиях углубляется. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц.

(чтение: 5 увеличить на 1, 6 уменьшить на 2 ).

3. Затем дети узнают название знаков действий: «плюс», «минус»

(чтение: 5 плюс 1 ,6 минус 1 ).

4. Дети усваивают название компонентов ЧВ.

(чтение: 1 слагаемое. 5, 2 слагаемое 1, сумма равна 6).

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью (1 кл.), произведением и частным (2 кл.).

2 этап . Ознакомление с ЧВ, содержащими действия одной ступени .

Перед изучением выражений со скобками учащимся предлагаются выражения вида 8+1-7 10-5+4

В данных случаях сначала находится значение выражения, заключенное в овал, затем из полученного результата вычитается число, находящееся в квадрате. При этом учащиеся пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования (8+1-7=9-7=2).

Позднее вводятся скобки 6+4-1=(6+4)-1.

Формируется правило: действие, записанное в скобках, выполняется первым .

Для усвоения введенного правила включаются различные тренировочные упражнения. При этом дети учатся правильно читать и записывать данные выражения:

Запиши и вычисли: .

1. Из суммы чисел 9 и 7 вычесть 10.

2. К 10 прибавить разность чисел 9 и 7.

В дальнейшем вводится понятия числового выражения (остенсивное, путем показа) и значения числового выражения. 2 кл. с. 68

После этого дети читают или записывают выражения, находят их значения, сами составляют выражения.

Овладение новыми терминами позволяет им по-новому читать выражения (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.д.) 2 кл.с.58 № 1,2, 6; с.69 № 2.

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие выражения, имеют двоякий смысл, что раскрывается учащимся.

Похожие публикации